domingo, 20 de junho de 2010

Arte na Matemática

Arte na Matemática

Número de Ouro

O que é o número de Ouro ?
O Número de Ouro é um número irracional misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada por muitos como uma oferta de Deus ao mundo.
A proporção áurea ou número de ouro ou número áureo ou ainda proporção dourada. Também é chamada de: seção áurea,razão áurea, razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão.
É frequente a sua utilização em pinturas renascentistas.
Um exemplo desta maravilha é o facto de que se desenharmos um rectângulo cujos lados tenham uma razão ente si igual ao número de Ouro este pode ser dividido num quadrado e noutro rectângulo em que este tem, também ele, a razão entre os dois lados igual ao número de Ouro. Este processo pode ser repetido indefinidamente mantendo-se a razão constante.
No Egipto as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea : A razão entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro
O Partenon Grego , templo representativo do século de Péricles contém a razão de Ouro no rectângulo que contêm a fachada (Largura / Altura), o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. O escultor e arquitecto encarregado da construção deste templo foi Fídias.
Pitagóricos usaram também a secção de ouro na construção da estrela pentagonal. mero de ouro é a inicial do nome deste arquitecto - a letra grega Phi maiúsculo.
Não conseguiram exprimir como quociente entre dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado (pentáculo) e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam que lhe chamaram irracional.
Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência que o era. Este número era o número ou secção de ouro apesar deste nome só lhe ser atribuído uns dois mil anos depois.
A contribuição de Fibonacci para o número de ouro está relacionada com a solução do seu problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, a sequência de números de Fibonacci.
Consideremos a sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..) e a divisão de cada número pelo seu antecessor, para obter a sequência:
1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5, 5/3=1,666..., 8/5=1,6, 13/8=1,625, ...
As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como Número de Ouro, também chamado Número Áureo, é frequentemente representado pela letra grega Phi
Phi = 1.618033988749895

TANTRAM
Tangram é um quebra-cabeça chinês formado por 7 peças (5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo.
Segundo a Enciclopédia do Tangram é possível montar mais de 1700 figuras com as 7 peças.
Esse quebra-cabeça, também conhecido como jogo das sete peças, é utilizado pelos professores de matemática como instrumento facilitador da compreensão das formas geométricas. Além de facilitar o estudo da geometria, ele desenvolve a criatividade e o raciocínio lógico, que também são fundamentais para o estudo da matemática.
Existem várias lendas sobre o surgimento do Tangram. Diz algumas escrituras que: uma pedra preciosa se desfez em sete pedaços e com eles era possível formar várias formas (animais, plantas, pessoas) outra diz que um imperador deixou o seu espelho cair, e esse se desfez em 7 pedaços que poderiam ser usados para formar várias figuras. A verdade é que não se sabe ao certo como surgiu o Tangram.

Conteúdos, objetivos e habilidades

Com o uso do tangram você pode trabalhar a identificação, comparação, descrição, classificação e desenho de formas geométricas planas., visualização e representação de figuras planas, exploração de transformações geométricas através de decomposição e composição de figuras, compreensão das propriedades das figuras geométricas planas, representação e resolução de problemas usando modelos geométricos. Esse trabalho permite o desenvolvimento de algumas habilidades tais como a visualização, percepção espacial, análise, desenho, escrita e construção.
Se utilizado em terceiras e quartas séries pode envolver ainda noções de área e frações.
Este quebra-cabeça tem sido utilizado como material didático nas aulas de Artes e está cada vez mais presente nas de Matemática. O trabalho com o tangram deve em suas atividades iniciais visar a exploração das peças e a identificação das suas formas.

O tangram em sala de aula

Logo depois, se passa à sobreposição e construção de figuras dadas a partir de uma silhueta, nesse caso, cabe ao aluno reconhecer e interpretar o que se pede, analisar as possibilidades e tentar a construção. Durante todo esse processo, a criança precisa analisar as propriedades das peças do tangram e da figura que se quer construir, se detendo ora no todo de cada figura, ora nas partes.

LinK para aprofundamentos:

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/numouro.htm
http://rachacuca.com.br/jogos/tangram/
http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/trab_finais/TrabalhoIvany.pdf

domingo, 18 de abril de 2010

Números Primos

Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo.
Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..
A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).
O conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números.
Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:
Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam os primos.
Se P é um número primo, é necessariamente diferente dos primos , pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.
Por outro lado, se P é composto, existe um número primo q tal que q é divisor de P.
Mas obviamente Logo existe um novo número primo.
Há um novo número primo, seja P primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
Uma outra prova envolve considerar um número inteiro n > 1. Temos n + 1 que, necessariamente, é coprimo de n (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto n e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim, n(n + 1) tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.
Tomemos o sucessor deste, que representamos como n(n + 1) + 1. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a n(n + 1). Ao multiplicar os dois números, temos [n(n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]. Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.

sábado, 10 de abril de 2010

Os papiros da Matemática egípcia

Os egípcios criam os símbolos

Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em cidades.
A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio.
    Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores. 
Como conseqüência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História.
Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos.
A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática.
Por volta do ano 3000 a.C. os egípcios tinham já desenvolvido um sistema de escrita, os hieróglifos. São também deste período as primeiras pirâmides.
Os numerais escritos em hieróglifos encontram-se em túmulos, em monumentos de pedra e cerâmica.
Ao passarem a utilizar o papiro para fazer os seus registos, os egípcios desenvolveram outro sistema de escrita, mais rápido - a escrita hierática, que foi utilizada até cerca de 800 a.C.


Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões.
Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos.
3 + 5 = 8

Contando com os egípcios

Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”.
  Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado.
Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil.
O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
1  10  100  1.000  10.000
100.000  1.000.000

Os papiros da Matemática egípcia.

Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou.
  O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres.
   O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não se sabe nada sobre o seu autor.


Atividades a serem desenvolvidas pelo aluno:

Pesquisar sobre os principais papiros do egípcio e elabora cartaz.

quinta-feira, 25 de março de 2010

Números triangulares

Um número triangular é um número natural que pode ser representado na forma de triângulo equilátero.Foi desenvolvido por Gauss em 1788 quando ele tinha somente 10 anos.Para encontrar o n-ésimo número triangular a partir do anterior basta somar-lhe n unidades. Os primeiros números triangulares (sequência A000217 na OEIS) são:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...


Explicação Simplificada

Número Triangular Natural vezes o mesmo número, mais 1, dividido por dois igual a resultado do número Triangular.

(1+2+3+4+...+n)

Tal conceito é utilizado de maneira mais generalizada em progressões aritméticas


Diz a lenda que Gauss, quando miúdo de escola, era bastante irrequieto. Um dia o professor decidiu pô-lo a calcular: 1 + 2 + 3 + ... + 100, na esperança de o manter sossegado por algum tempo. Não resultou, pois o miúdo rapidamente calculou: 50 * 101 = 5050

"Fórmula do menino Gauss":

1 + 2 + 3 + ... + n = n (n+1) / 2.

Aplicação dos Números Triangulares

Imaginemos uma situação em que n pessoas se encontram. Para que todos se cumprimentem mutuamente, quantos apertos de mão deverão ser efectuados?

http://www.youtube.com/watch?v=HqPXZtdPOSU

Progressão Aritmética

As progressões foram estudadas desde povos muito antigos como os babilônicos. Inicialmente, procurou-se estabelecer padrões como o da enchente do Rio Nilo, onde os egípcios de 5.000 anos atrás tiveram que observar os períodos em que ocorria a enchente do rio, pois para poderem plantar na época certa e assim garantir seus alimentos, os egípcios precisavam saber quando haveria inundação. Havia, portanto, necessidade de se conhecer o padrão desse acontecimento.
Eles observaram que o rio subia logo depois que a estrela Sírius se levantava a leste, um pouco antes do Sol. Notando que isso acontecia a cada 365 dias, os egípcios criaram um calendário solar composto de doze meses, de 30 dias cada mês e mais cinco dias de festas, dedicados aos deuses Osíris, Hórus, Seth, Ísis e Nephthys. Os egípcios dividiram ainda os doze meses em três estações de quatro meses cada uma: período de semear, período de crescimento e período da colheita
Avançando no curso histórico, encontramos os estudo de Henry Rhind. Seu papiro, o papiro Rhind, foi publicado em 1927. Tem cerca de dezoito pés de comprimento por cerca de treze polegadas de altura. Porém, quando o papiro chegou ao Museu Britânico Nele era menor, formado de duas partes, e faltava-lhe a porção central. O seguinte problema envolvendo progressões se encontra no papiro Rhind:

“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em Progressão Aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores”.
Presume-se que se deve a Pitágoras (585 a.C. – 500 a.C.) e aos sábios gregos que viveram depois dele, a criação da Aritmética teóricos, pois os pitagóricos conheciam as progressões aritméticas
Conclui-se que, as progressões representam uma importante ferramenta, pois sua aplicabilidade se encontra em situações relacionadas à Matemática Financeira. Os juros simples podem ser relacionados às progressões aritméticas e os juros compostos estão diretamente ligados às progressões geométricas. Os estudos relacionados às progressões são fundamentados nas seqüências lógicas finitas ou infinitas e podem ser encontrados nas funções exponenciais e na Geometria

Pegadinha: para cada conjunto de 2 números, há um número do meio, descubram quais são eles, e qual é a lógica!
1. 38 __ 55
2. 90 __ 107
3. 45 __ 62
4. 57 __ 72
5. 99 ___ 116
6. 1341 ____ 1358
7. 27 __ 44
8. 1816 ____ 1833
9. 124 ___ 141
10. 1112 ____ 1129
11. 15.358 ______ 15.375
12. 332 ___ 347
13. 1574 ____ 1591
14. 191 ___ 208

sábado, 13 de março de 2010

O que é números perfeito, amigos e abundante?

Número Perfeito


Um número perfeito é um número inteiro para o qual a soma de todos os seus divisores positivos próprios (excluindo ele mesmo) é igual ao próprio número.

Por exemplo, o número 6 é um número perfeito, pois:

O próximo número perfeito é o 28, pois:

Os quatro primeiros números perfeitos (6, 28, 496 e 8.128) eram os únicos conhecidos pelos gregos antigos. No século XV acrescentou-se 33.550.336 à lista.

Não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e conjectura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum


Números Amigos


Dizemos que dois números são amigos se cada um deles é igual a soma dos divisores próprios do outro.
Os divisores próprios de um número positivo N são todos os divisores inteiros positivos de N exceto o próprio N.

Um exemplo de números amigos são 284 e 220, pois os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Efetuando a soma destes números obtemos o resultado 284.

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142, efetuando a soma destes números obtemos o resultado 220.

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

A descoberta deste par de números é atribuída à Pitágoras.
Houve uma aura mística em torno deste par de números, e estes representaram papel importante na magia, feitiçaria, na astrologia e na determinação de horóscopos.


Números Abundante


Um número abundante é um número inteiro menor do que a soma de seus divisores próprios
Um número inteiro positivo n diz-se Abundante, ou excessivo, se a soma de todos os seus divisores for maior que o dobro do número, isto é, se:

s(n)>2n, ou de forma equivalente, se s(n)-n>n.

Assim, 12 é um número abundante, porque, s(12)= 28 e 28>24.

Os primeiros números abundantes são: 12, 18, 20, 24, 30 e 36.

Uma das propriedades destes números é a seguinte:

Qualquer múltiplo de um número perfeito ou abundante é abundante.

Ex:• 42 é abundante porque 42 < 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 14 + 21 = 54
• 48 é abundante porque 48< 2+4+6+12+16+24= 64

quinta-feira, 11 de março de 2010

Teorema de pitagoras


Como sabemos, o Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se construírmos quadrados sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo, esses quadrados terão área a2, b 2 e c2.Ou seja, podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da seguinte forma: a área do quadrado maior (construído sobre a hipotenusa) é igual à soma das áreas dos dois quadrados menores (construídos sobre os catetos).

sábado, 6 de março de 2010

Aula do dia11/03/2010

Números, classificados na Grécia antiga como pitagóricos.

Além de grandes místicos, os pitagóricos eram grandes matemáticos. Eles descobriram propriedades interessantes e curiosas sobre os números.
  1. Números figurados
Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de tetraktys, tétrada em português. Este número era visto como um número místico uma vez que continha os quatro elementos fogo, água, ar e terra: 10=1 + 2 + 3 + 4, e servia de representação para a completude do todo.

α
α α
α α α
α α α α

A tétrada, que os pitagóricos desenhavam com um α em cima, dois abaixo deste, depois três e por fim quatro na base, era um dos símbolos principais do seu conhecimento avançado das realidades teóricas. Representação toda perfeita em si de qualquer um dos lados que se observe
2. Números perfeitos
A soma dos divisores de determinado número com exceção dele mesmo, é o próprio número.
Exemplos:
Os divisores de 6 são: 1,2,3 e 6. Então, 1 + 2 + 3 = 6.
Os divisores de 28 são: 1,2,4,7,14 e 28. Então, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Sugestão de Atividade
1. Pesquisar sobre as principais descobertas de Pitágoras com os números.
2. Sugerir que os alunos encontrem outros números chamados perfeito.
3. demonstraram através de pesquisas outras propriedades dos números figurados.

sexta-feira, 5 de março de 2010

Aula do dia 04/03/2010


Sistema de Numeração egípcio

Os egípcios da Antiguidade criaram um sistema muito interessante para escrever números, baseado em agrupamentos. Desta forma, trocando cada dez marcas iguais por uma nova, eles escreviam todos os números de que necessitavam.

Descrição egípcio

Bastão 1 até 9
Calcanhar 10 ( 1 dezena )
Corda 100 ( 1 centena )
Flor de lótus 1 000
Dedo apontado 10 000
Peixe 100 000
Homem 1 000 000
Sugestão de trabalho para estudante do 6º ano.
  • Pesquisar os números egípcios.
  • Confeccionar cartaz ou mural com os números egípcios, utilizando materiais como: palito, barbante ou desenhos.
  • Fazer operação de adição ou subtração.

Exercício de fixação no site abaixo.
http://plato.if.usp.br/1-2003/fmt0405d/apostila/antig3/node3.html